458. 可怜的小猪

题目链接

https://leetcode-cn.com/problems/poor-pigs/

题目描述

有 1000 只水桶，其中有且只有一桶装的含有毒药，其余装的都是水。它们从外观看起来都一样。如果小猪喝了毒药，它会在 15 分钟内死去。

问题来了，如果需要你在一小时内，弄清楚哪只水桶含有毒药，你最少需要多少只猪？

回答这个问题，并为下列的进阶问题编写一个通用算法。

进阶:

假设有 n 只水桶，猪饮水中毒后会在 m 分钟内死亡，你需要多少猪（x）就能在 p 分钟内找出 “有毒” 水桶？这 n 只水桶里有且仅有一只有毒的桶。

提示：

可以允许小猪同时饮用任意数量的桶中的水，并且该过程不需要时间。
小猪喝完水后，必须有 m 分钟的冷却时间。在这段时间里，只允许观察，而不允许继续饮水。
任何给定的桶都可以无限次采样（无限数量的猪）。

解题方案

思路

标签：数学

这道题初看的时候，很多人会纠结：到底需要多少只小猪，而每只小猪又应该具体如何喝水才能判断出哪只水桶有毒药？

这道题最开始不要去关注细节，去想到底应该怎么喂水。而是应该先思考在考察哪方面的问题，数组、链表、二叉树还是数学？那么仔细思考就能得出结论，本质上在考察数学中的进制问题。

举例说明：

假设：总时间 minutesToTest = 60，死亡时间 minutesToDie = 15，pow(x, y) 表示 x 的 y 次方，ceil(x)表示 x 向上取整
当前有1只小猪，最多可以喝 times = minutesToTest / minutesToDie = 4 次水
最多可以喝4次水，能够携带 base = times + 1 = 5 个的信息量，也就是（便于理解从0开始）：
- (1) 喝0号死去，0号桶水有毒
- (2) 喝1号死去，1号桶水有毒
- (3) 喝2号死去，2号桶水有毒
- (4) 喝3号死去，3号桶水有毒
- (5) 喝了上述所有水依然活蹦乱跳，4号桶水有毒
- 结论是1只小猪最多能够验证5桶水中哪只水桶含有毒药，当 buckets ≤ 5 时，answer = 1
那么2只小猪可以验证的范围最多到多少呢？我们把每只小猪携带的信息量看成是base进制数，2只小猪的信息量就是 pow(base, 2) = pow(5, 2) = 25，所以当 5 ≤ buckets ≤ 25时，anwser = 2
那么可以得到公式关系：pow(base, ans) ≥ buckets，取对数后即为：ans ≥ log(buckets) / log(base)，因为ans为整数，所以 ans = ceil(log(buckets) / log(base))

时间复杂度：O(1)

看到这里我们再去关注细节，2只小猪到底怎么喂水，在上述假设下，能够最多验证25桶水呢？请看下方图画解答：

458

frame_00001 frame_00002 frame_00003 frame_00004 frame_00005 frame_00006 frame_00007 frame_00008 frame_00009 frame_00010 frame_00011 frame_00012 frame_00013

代码

Java版本

class Solution {
    public int poorPigs(int buckets, int minutesToDie, int minutesToTest) {
        int times = minutesToTest / minutesToDie;
        int base = times + 1;
        // base ^ ans >= buckets 
        // ans >= log(buckets) / log(base)
        double temp = Math.log(buckets) / Math.log(base);
        int ans = (int)Math.ceil(temp)
        return ans;
    }
}

JavaScript版本

/**
 * @param {number} buckets
 * @param {number} minutesToDie
 * @param {number} minutesToTest
 * @return {number}
 */
var poorPigs = function(buckets, minutesToDie, minutesToTest) {
    const times = minutesToTest / minutesToDie;
    const base = times + 1;
    // base ^ ans >= buckets 
    // ans >= log(buckets) / log(base)
    const temp = Math.log(buckets) / Math.log(base);
    const ans = Math.ceil(temp)
    return ans;
};