70. 爬楼梯

题目链接

https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

解题方案

第一种思路

标签：数学
如果观察数学规律，可知本题是斐波那契数列，那么用斐波那契数列的公式即可解决问题，公式如下：

$F_n = 1/\sqrt{5}\Big[\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^n-\Big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Big)^n\Big]$

时间复杂度：O(logn)

第一种思路代码

Java版本

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        double sqrt_5 = Math.sqrt(5);
        double fib_n = Math.pow((1 + sqrt_5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt_5) / 2,n + 1);
        return (int)(fib_n / sqrt_5);
    }
}

JavaScript版本

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    const sqrt_5 = Math.sqrt(5);
    const fib_n = Math.pow((1 + sqrt_5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt_5) / 2,n + 1);
    return Math.round(fib_n / sqrt_5);
};

第二种思路

标签：动态规划
本问题其实常规解法可以分成多个子问题，爬第n阶楼梯的方法数量，等于2部分之和
爬上n-1阶楼梯的方法数量。因为再爬1阶就能到第n阶
爬上n-2阶楼梯的方法数量，因为再爬2阶就能到第n阶
所以我们得到公式dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
同时需要初始化dp[0]=1和dp[1]=1
时间复杂度：O(n)

第二种思路代码

Java版本

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

JavaScript版本

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    const dp = [];
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
};