96. 不同的二叉搜索树

题目链接

https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解题方案

思路

标签：动态规划
假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，则

$G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + … + f(n)$

当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，则

$f(i) = G(i-1)*G(n-i)$

综合两个公式可以得到卡特兰数公式

$G(n) = G(0)G(n-1)+G(1)(n-2)+…+G(n-1)*G(0)$

代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        
        for(int i = 2; i < n + 1; i++)
            for(int j = 1; j < i + 1; j++) 
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
        
        return dp[n];
    }
}